С 1963 по 1973 год Алексей Алексеевич выступал за СКА, забив 30 голов в 215 матчах за армейцев. Нападающий стал кумиром не только ростовских любителей футбола, но и был одним из любимчиков советской публики, заслужив прозвище "советский Ривера".
В составе Донских армейцев Алексей Еськов стал обладателем серебряных медалей чемпионата СССР 1966 года и дважды финалистом Кубка СССР в 1969 и 1971 годах. Два раза попадал в список 33 лучших футболистов СССР (1967, 1969). За сборную СССР провел 7 матчей.
После завершения карьеры игрока не покинул футбол и решил попробовать себя на тренерском поприще, в период с 1982 по 1985 год был сначала тренером, а затем и главным тренером СКА. До последних дней жизни Алексей Алексеевич принимал активное участие в матчах ветеранов, радуя публику своей незаурядной техникой.